2장 : 컴퓨터 산술/논리 - (4) 부동소수점

<요약>

• 소수 표현
  • 종류
    • 고정 소수점
    • 부동 소수점
• 부동 소수점
  • 구조
    • 부호
    • 지수 필드
    • 가수 필드
  • 지수 필드 적용 개념
    • 바이어스
      • 바이어스 127
      • 바이어스 128
  • 가수 필드 적용 개념
    • 히든 필드
  • IEEE 754 표준
    • 종류
      • 단일-정밀도
      • 복수-정밀도
    • IEEE 754에서는 1.0101방식으로 정규화
  • 최소값, 최대값
  • 범위 초과(오버플로우)
    • 종류
      • 음수 언더, 오버 플로우
      • 양수 언더, 오버 플로우

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• 소수 표현 종류
  • 고정 소수점
    • 정수, 소수 필드로 나눔
    • 해당 필드를 조합해서 정수, 소수를 나타냄
  • 부동 소수점
    • 소수, 지수로 값을 나눔
    • 소수로 값을 표현한 다음에 지수로 범위를 맞춤
    • 예시
      • 답 : 125
      • 소수 : 1.25
      • 지수 : 2 = (10^2)
      • 1.25 * 100 = 125
• 부동 소수점 형태

 

• 부호 : +, -
• 기수 : 진수 ( 2진수 = 2기수)
  • 각 진수에 맞게 자릿수를 올림
• 가수 : 소수점 이하 숫자를 만듦
• 지수 : 소수점 이상 숫자를 만듦

1. n진 부동소수점

• 10진 부동소수점
  • 예시
    • 2.74 * 10^14
      • 274,000,~~~
    • 2.74 * 10^-12
• 2진 부동소수점
  • 예시
    • 0.11101 * 2^2
      • 11.101
  • 종류
    • 단일-정밀도 부동소수점
      • 32비트 크기
      • float
    • 복수-정밀도 부동소수점
      • 64비트 크기
      • double
  • 단일-정밀도 표현

• 특징
  • 지수 필드 비트 증가 : 표현 가능 숫자 범위 증가
  • 가수 필드 비트 수 증가 : 정밀도 증가(소수 표현 정밀도 증가)

2. 부동소수점

• 정규화
  • 정수를 1자리로 이동시키는 것
    • 10101.xxx → 1.0101xxxx
  • 즉, 가수 필드의 적힌 값은 1.0101xxx로 해석하면 된다
    • 예시
      • S(부호) = 0
      • E(지수) = 101
      • M(가수) = 1101
      • 1101 = 1.101
      • ⇒ 1.101 * (2^5)
  • 가수 필드의 첫번째 비트는 hidden bit(항상 1의 값을 지니는 비트)
    • hidden bit는 생략함(항상 1이므로)
    • ⇒ M = 1101 → 101

3. 바이어스된 지수

• 의미
  • 지수 필드에 바이어스 값을 더함
  • 실제 지수 필드의 값은 바이어스 값을 뺀 값으로 읽음
• 예시
  • 바이어스 128
  • 지수 4
  • 지수 필드 = 00000100(4) + 10000000(128) = 10000100
  • 실제 값 = 4
• 종류
  • 바이어스 127
    • 주어진 값에 +127
  • 바이어스 128
    • 주어진 값에 +128
• 사용 방안
  • 0을 표현하기가 편하다.
    • 실제 0에 근접한 값은 가수 필드가 많이 사용된다
      • 0.00000000010101000100
    • 지수의 음수 표현 + 지수가 0에 가까우면 0을 판별하기가 쉽다
    • 따라서, 바이어스를 사용함으로써, 지수가 000000~에 가까우면 지수는 최대 음수 지수에 가까워지면서 0에 가까워진다.
    • 따라서, 0에 가까운 지수를 통해 0을 판별하기 쉽다.

3.IEEE 754 표준 부동소수점

• 의미
  • 부동소수점 표현의 표준 정함
• 종류
  • 단일 정밀도 형식 = 32비트
  • 복수 정밀도 형식 = 64비트
• 바이어스
  • 바이어스 127을 사용함
• 구조

4. 부동 소수점의 최소, 최대

• 가정
  • IEEE 754 단일 정밀도
• 지수 필드 최소, 최대
  • 최소
    • -127
  • 최대
    • 128
• 가수 필드 최소, 최대
  • 최소
    • 0.5
      • 히든 필드가 1이기 때문에, 가수 필드가 전부 0이더라도 0.1이됨
  • 최대
    • 1 - 2^(-24)
      • 0.11111111~이 최대 값임
      • 따라서, 1 - 0.00…1을 계산하면 0.1111111~
    • QnA) 지수 필드는 23비트인데 왜 24개인 걸로 표현하나?
      • 히든 필드를 생략하므로 1비트 더 표현가능
      • 따라서, 비트는 23이지만 24개 문자 표현 가능
• 부동 소수점 최소, 최대
  • 최소
    • 2^(-127) * 0.5
      • 지수 최소 * 가수 최소
  • 최대
    • 2^128 * (1-2^(-24))
      • 지수 최대 * 가수 최대
• 오버플로우
  • 종류
    • 음수 언더, 오버 플로우
    • 양수 언더, 오버 플로우